2014年第五届蓝桥杯省赛-I. 地宫取宝

原题链接

题面

X 国王有一个地宫宝库。是 n×m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。

输入描述

输入一行 3 个整数，用空格分开：n,m,k (1≤n,m≤50,1≤k≤12)。

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 $C_i\ (0 \leq C_i \leq 12)$ 代表这个格子上的宝物的价值。

输出描述

要求输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 10⁹+7 取模的结果。

输入样例

2 2 2
1 2
2 1

输出样例

2

题解

动态规划

0/1背包的变体，即选和不选问题。

• 状态表示：f[i][j][x][y] 表示当前走到格子 (i, j) 处，且手中有 x 件物品同时这些物品的最大价值为 y 的方案数量。

• 状态计算：

  • 当前格子的物品不拿：则当前状态由前一个位置的方案数量之和，如下 $f[i][j][x][y] = f[i - 1][j][x][y] + f[i][j - 1][x][y]$
  • 当前格子的物品拿走：则当前格子的状态为 f[i][j][x][a[i][j]] 时，其计算结果等于$f[i][j][x][a[i][j]] = \sum\limits_{y = 0}^{a[i][j] - 1} (f[i - 1][j][x - 1][y] + f[i][j - 1][x - 1][y])$

在运算时注意取模，最后计算完所有状态后，累加在终点 (m, n) 恰好取到 k 个物品的方案数即为答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 55, M = 15, MOD = 1e9 + 7;
int f[N][N][M][M];
int n, m, k;
int a[N][N];

int main() {
    cin >> m >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            a[i][j]++;
        }
    }

    f[1][1][0][0] = 1;
    f[1][1][1][a[1][1]] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            for (int x = 0; x <= k; x++) {
                for (int y = 0; y <= 13; y++) {
                    //不选
                    if (i > 1) f[i][j][x][y] = (f[i][j][x][y] + f[i - 1][j][x][y]) % MOD;
                    if (j > 1) f[i][j][x][y] = (f[i][j][x][y] + f[i][j - 1][x][y]) % MOD;

                    //选
                    if (x && y == a[i][j]) {
                        for (int z = 0; z < a[i][j]; z++) {
                            //上面来的
                            if (i > 1) f[i][j][x][y] = (f[i][j][x][y] + f[i - 1][j][x - 1][z]) % MOD;
                            //左边来的
                            if (j > 1) f[i][j][x][y] = (f[i][j][x][y] + f[i][j - 1][x - 1][z]) % MOD;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 13; i++) ans = (ans + f[m][n][k][i]) % MOD;
    cout << ans << endl;

    return 0;
}