AcWing-100-增减序列

2021-02-01 · 85次阅读 · 原创 · 数据结构与算法

#差分 #题解

问题

给定一个长度为 n 的数列 $a_1,a_2,…,a_n$ ，每次可以选择一个区间 [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。

求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。

输入格式

第一行输入正整数n。

接下来n行，每行输入一个整数，第i+1行的整数代表 $a_i$ 。

输出格式

第一行输出最少操作次数。

第二行输出最终能得到多少种结果。

数据范围

0<n≤ $10^5$ ,
0≤ $a_i$ <2147483648

输入样例：

输出样例：

1
2

思路

把序列A的区间 [l, r] 加d（即为把A[l],A[l+1],A[r]都加上d），其差分序列B只发生如下变化：

$B[l] = B[l] + d，B[r+1] = B[r+1] - d$

令B[n] = 0，加入到B中，则由本题可知，即为在B[i]（0 <= i <= n）中，任选两项，一项加1，一项-1，最终使得B[i]（1 <= i <= n-1）都变为0。则有如下3三种有效选法：

从 [1,n-1] 中选，则两项应该尽量保证一正一负（因为一项加一项减），以减少操作次数，更快接近目标；
一项选A[0]，另一项在 [1,n-1] 中选；
一项选A[n]，另一项在 [1,n-1] 中选；

设B[1]~B[n-1]中的正数和为p，负数和的绝对值为q。则首先用第一种选法，将正负数进行抵消，用去min(p,q)次操作。剩余|p-q|的数未配对，可以选择选法2或者3进行配对，消耗|p-q|次操作。

则综上所述，最少操作次数为 $min(p,q)+|p-q| = max(p,q)$ 。又根据|p-q|次的第二或第三种操作，导致B[0]的数值有 $|p-q|+1$ 种。

题解

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 100010;
int a[MAX];     //输入的原序列ai
int b[MAX];     //差分序列

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);

        if (i == 0) b[i] = a[i];
        else b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }

    ll z = 0, nz = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (b[i] > 0) z += b[i];
        if (b[i] < 0) nz -= b[i];
    }

    cout << max(z, nz) << endl;
    cout << abs(z - nz) + 1 << endl;

    return 0;
}

标题：	AcWing-100-增减序列
链接：	https://www.fightingok.cn/detail/39
更新：	2022-09-18 22:33:30
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